以应变能最小为目标函数，以体积分数为约束，采用拓扑优化设计方法，确定了复杂载荷下摆线轮成形磨床立柱材料的最佳分布。
以王莲叶脉和芭蕉叶柄为仿生目标，采用结构仿生优化设计方法，在立柱内部仿生空间设计仿生筋板，最大限度提升立柱整体性能。
采用响应面模型遗传算法对立柱内部复杂结构尺寸进行优化，得到尺寸最优解。
结果表明：在受载相同的情况下，优化后的立柱质量减轻18.4%，立柱最大应力减少23.6%，变形位移减少0.6%，一阶固有频率有所提升。
引 言
随着国防、机器人产业以及航空航天技术的快速发展，推动了精密机床向着高速、高效、高精度方向迈进。
摆线齿轮成形磨削机床是我国实现工业机器人摆线针轮精密减速器国产化的核心装备之一，立柱作为机床的关键基础件和导向元件直接影响了磨削加工精度。
优化精密机床的刚度、抗震性、稳定性时，如何实现零部件的轻量化和结构的最佳布局是当前精密机床所面临的一项技术难题。
国内外不少学者采用有限元分析、拓扑优化等方法对机床立柱、床身等结构进行了研究。
文献采用拓扑优化的方法实现了机床关键结构件的轻量化设计，同时提升了机床的动态特性。
文献选择不同内部结构的横梁进行有限元对比分析，经过尺寸分析获得了最优的横梁厚度。
文献以球形蜗杆砂轮磨齿机床身为研究对象，采用灵敏度分析和多目标优化方法求解出了床身的最优结构参数，利用有限元法对比了优化前后床身的静动态性能，验证了床身优选结果的有效性。
文献建立了机床整机的有限元模型以及数学模型，对机床的关键零部件结构进行了拓扑优化及模态分析。
文献采用有限元法对机床关键零部件实现了结构尺寸优化。
文献通过对机床整机静刚度的有限元分析，找出了机床结构设计的薄弱环节。
综上所述，目前国内外学者普遍采用单一优化设计方法对机床结构进行优化设计，并未采用多种优化设计方法进行综合优化。
因此这里尝试采用拓扑优化、尺寸优化、结构仿生优化对摆线轮成形磨床立柱进行多级多目标优化设计。
原型摆线轮成形磨床三维建模
Y7654A型摆线轮磨齿机是秦川机床厂早期所研制的摆线轮磨削机床也是国内摆线轮加工最具代表的摆线轮磨削机床，相较于同期国外生产制造的成形磨床，Y7654A型摆线轮磨齿机的加工精度较低，其根本原因在于机床结构的静动态性能不足，Y7654A型摆线轮磨齿机，如图1(a)所示。
因此参照Y7654A型摆线轮磨齿机设计出原型摆线轮成形磨床的三维模型，如图1(b)所示。
同时立柱是摆线轮成形磨床的关键基础件和导向元件，立柱整体静动态性能的好坏将影响摆线轮成形磨床对于零件的加工精度，所以这里选取摆线轮成形磨床立柱作为研究对象，深入研究如何降低立柱质量、提高立柱静动态特性。
(a)Y7654A型摆线轮磨齿机
(b)原型摆线轮成形磨床
图1 摆线轮成形磨床
将机床立柱看做成一个振动系统，如图2所示。
图2 立柱振动系统简图
振动系统是由质量m、连接质量和地面的弹簧k、阻尼c组成，当振动系统受到外部激励力F的时候，系统将会发生微量位移x，其振动微分方程为：
机床立柱结构的模态参数与所受到外部激励力的大小无关，只与立柱结构、材料、质量相关，在忽略机构阻尼所产生的影响之后，可得到无阻尼固有频率如下。
当系统受到外部激励力的时候，激励力大小为：
在共振时引起的振幅为：
由式(2)、式(3)可知，在质量相等的情况下，增加立柱的最大固有频率能降低共振点处振幅，从而改善机床立柱动态性能。
原型立柱的静动态分析
原型立柱有限元模型：运用三维建模软件绘制摆线轮成形磨床立柱，确定立柱结构为悬臂梁结构，以实际工况下的约束和所受载荷为背景对原型立柱进行初步设计，如图3所示。
图3 原型立柱
在立柱导轨面上施加大小为0.08MPa，方向为X轴负方向的均布载荷以及立柱顶端部分施加大小为0.05MPa，方向为Z轴负方向的均布载荷，添加立柱自身所受重力，立柱底部采用固定约束，具体边界条件，如图4所示。
图4 边界条件
原型立柱静态学分析：机床立柱材料设置为灰铸铁(密度为7200kg/m3，泊松比为0.28，材料弹性模量为110GPa)，经网格划分后得到有限元模型有87979个节点和51074个单元，如图5所示。
图5 立柱网格划分
按照图4所示边界条件进行静态分析，可以获得机床原型立柱的最大应力以及变形位移，最大应力为0.56073MPa，变形位移为0.0057636mm，如图6、图7所示。
图6 原型立柱应力云图
图7 原型立柱位移云图
原型立柱的模态分析：机床立柱的模态分析是机床结构分析的重要组成部分之一， 机床立柱的材料属性和约束条件同上述静态分析结果一致，得到机床立柱前六阶振型图，如图8所示。
(a)原型立柱一阶振型
(b)原型立柱二阶振型
(c)原型立柱三阶振型
(d)原型立柱四阶振型
(e)原型立柱五阶振型
(f)原型立柱六阶振型
图8 原型立柱6阶振型
同时由ANSYS Workbench软件可以得到原型立柱的前6阶固有频率，如表1所示。
表1 原型立柱固有频率
三级综合优化设计流程
立柱主体拓扑优化：拓扑优化是指在已知材料属性、设计区域、目标函数、响应约束的情况下，通过连续体结构拓扑优化方法对立柱主体结构布局进行改进。
这里以结构柔度为目标函数，以材料体积分数为约束条件，建立优化数学模型，并对拓扑优化结果进行后处理，如图9所示。
图9 拓扑优化结果
经过第一级的拓扑优化后，得到的立柱结构布局可以充分的 达到约束函数所约束的条件，同时载荷在立柱上的传递路径清晰地显示出来，拓扑优化结果具备：
(1)整体迭代速度快。以静态分析下的柔度为目标函数在经过28次迭代后快速达到收敛状态。
(2)轻量化成效明显。模型优化后立柱质量大幅度减小。
(3)结构具有可实用性。保留的设计区域为单元格密度0.4以上的区域，这些区域对于刚度有较大的提升作用，且保留下来的区域在实际加工中，制造难度较小，有利于应用于实际生产加工。
立柱的仿生结构优化：结构仿生学的发展是建立在工程力学的基础上，结合最新的相似理论学，针对不同生物体在不同结构层次下的受力规律开展研究。
为了获得设计灵感，通常会分析仿生对象与研究对象在结构、力和功能上的相似性，进而设计出与仿生对象结构相似的仿生结构，实现提升使用性能，提高设计效率的目的。
王莲叶脉在结构相似性上：王莲叶脉以一级主脉、二级分脉、 三级次脉所形成交叉纵横的叶脉布局与机床立柱结构中的筋板 布局有着异曲同工之妙。
王莲叶脉在功能相似性上：王莲的叶脉结构主要起到支撑莲叶的作用，而立柱也属于机床的主要支撑部件。
王莲叶脉在载荷相似性上：立柱作为机床重要的支撑部件，立柱首先会承受一定量的外部载荷，主要来自加工状态下磨削部分所产生的磨削力，其次立柱还需承受电机、自身重力、磨削系统重力。
在自然界中，王莲主要受到一定量的风载，自身的重量以及水面波动所产生的作用力，其载荷的作用形式与立柱相似程度很高。
芭蕉叶柄在结构相似性：芭蕉叶柄和立柱的结构布局上都包 含有一定量的连续结构和离散结构，其结构的相似性很高。
在功能上，芭蕉叶柄作为支撑件和结合件来连接和支撑芭蕉叶，而立柱的主要功能也是用来承受磨削部件载荷以及连接床身。
在载荷上，立柱主要承受来自电机、自身重力、磨削系统重力、磨削部分所产生的磨削力，而芭蕉叶柄主要承受叶片所受风载以及叶片本身的重力。
因此综上所述，结合拓扑优化所得立柱主体结构及仿生设计空间，优化设计出立柱主体内部筋板结构，如图10、图11所示。
图10 仿生立柱结构
图11 仿生逻辑进化过程
基于响应面法的尺寸优化：
参数化模型建立：虽然经过拓扑优化和结构仿生优化后得到仿生立柱的最佳布局，但是立柱内部结构尺寸参数仍使用常规设计法设计，因此需要考虑不影响机床各个部件装配关系的前提下，选择其内部结构尺寸进行优化，这里选择的尺寸参数，如图12所示。
各参数初始值通过经验法计算得出，为了得到最全面的优化解，DS_P、DS_Y、DS_U 等8个参数取值范围由ANSYS Workbench中通过响应面模型建立而给定的最大范围，如表2所示。
图12 各尺寸参数
表2 设计变量取值范围
试验设计：响应面模型准确的建立，需要大量试验点数据的支撑，因此本次实验选用中心复合试验设计(Central Composite Design，CCD)，又称二次回归旋转设计。
这里基于中心复合试验设计方法抽取81组数据理论点，设置输入参数为上述8个立柱内部尺寸，输出参数为立柱一阶固有 频率、立柱质量、立柱最大应力及变形位移，提取数据理论点响应值，响应值，如表3所示。
表3 81组试验数据点及其响应值
基于MOGA算法的立柱优：基于试验设计所获得的数据理论点响应值，设置立柱质量为目标函数，一阶固有频率，变形位移为约束函数，立柱内部结构尺寸DS_Y、DS_I、DS_U等8个尺寸参数为自变量。通过上述关系构建立柱优化数学模型，如式(4)、式(5)所示。
图13 最优尺寸
表4 方案对比
结 论
以摆线轮成形磨床立柱为研究对象，采用一级拓扑优化、二级结构仿生、三级尺寸优化相结合的多级多目标优化方法，实现了机床立柱从初步设计到详细设计再到最终方案的一系列优化设计过程，得到如下结论：
(1)相对于现阶段的传统设计，采用全新的拓扑优化设计，打破了现有设计经验的束缚，为立柱的结构设计提供了最佳的主体布局。
(2)相对于现阶段常用的加强筋结构，采用创新的结构仿生设计结构，通过相似性理论确定仿生原型，为立柱主体筋板设计提供最佳的筋板结构设计思路。
(3)通过响应面法尺寸优化，确定了立柱内部结构的最佳尺寸，在其整体尺寸比例、体积与原型立柱基本相同的情况下，新型立柱整体质量减轻18.4%，在边界条件相同的情况下，最大应力减少23.6%，变形位移减少0.6%，固有频率有所提升，实现了立柱的轻量化与静动态性能的提高。
结果表明：在轻量化的前提下，机床立柱的静动态性能获得不同程度的提升，验证了所提出的多级多目标优化方法的可行性。
参考文献：略