一、概述
公法线的测量原理：渐开线任一点的法线都与基圆相切。因此齿轮公法线必与基圆相切，且公法线长度Wk=(Kx-1)*Pbn+Sbn(其中Kx为跨齿数，Pbn为基圆法向齿距，Sbn为基圆法向弧齿厚，见图1所示)。
图1 测公法线长度
跨齿数确定的基本原则：跨齿数过多，测量点靠齿顶;跨齿数过少，测量点靠齿根。因齿顶有修缘和齿根有过渡曲线，如果测砧接触部位在齿顶或齿根等非渐开线区域时，测量结果就不再是真正的公法线长度。测量公法线时，接触点以靠近齿廓中间部位为好(但要注意让开最大鼓形量的位置)。
跨齿数的约束条件：只要跨齿数合理，测量接触点不过分靠近齿顶、齿根时，“公法线卡尺的测砧分别在齿廓两侧有效渐开线部分的不同位置上”，对测量结果均没有影响，公法线长度数值都是相同的。因此同一个齿轮可以有几组不同的跨齿数来测量公法线长度(如图1)。但测斜齿轮时，由于齿轮宽度Wb的限制(见图2所示)，跨齿数必须满足Wk*Sin(Bf)<wb才能测量，否则要减少跨齿数。< p=""> </wb才能测量，否则要减少跨齿数。
图2 齿宽的限制
《机械原理》、《齿轮手册》等专业齿轮书籍没有详细介绍变位外斜齿轮公法线长度和跨齿数的计算公式的推导过程,更没有接触圆直径计算公式的说明。对一些齿廓有鼓形修形和齿顶齿根有修缘的齿轮，其测量位置对公法线长度的影响没有详细专业的论述。而有些期刊上的跨齿数公式太烦琐甚至有误，对从事齿轮工作的工程技术人员来说，不能起到很好的指导作用。因此有必要对跨齿数的理论计算公式和取整后公法线卡尺的实际接触圆位置进行精确求证。
二、公式推导
变位外斜齿轮公法线长度的计算公式
根据基圆周长换算，端面基节Pbt=π*D0/Z
法向基节Pbn=Pbt*cosB0=π*D0/Z*cosB0
基圆法向弧齿厚Sbn=(Sft/df+invaft)*d0*cosB0
变位外斜齿轮公法线长度的计算：Wkn=(kx-1)*Pbn+Sbn
Wkn=(kx-1)*Pbn+Sbn
=(kx-1)* π*D0/Z*cosB0+ (Sft/df+invaft)*D0*cosB0
=D0*cos(B0)*[ (kx-1) *π/Z+Sft/df +invaft] ，invaft=tan(aft)-aft。
△Wkn= D0*cos(B0) /df * △Sft ，由此可见公法线长度公差△Wkn略小于分圆端面弧齿厚公差△Sft。
其中Z=齿数， Sft=分圆端面弧齿厚，B0=基圆螺旋角，D0=基圆直径，df=分圆直径，Kx=跨齿数，aft=分圆端面压力角。
跨齿数Kx的确定
根据指定的公法线千分尺的两边相同的接触圆直径Dfx(现简称为“等接触”)，计算跨齿数Kx:
图3 测公法线Wkx和等接触圆直径Dfx
根据图3有：2*aftx=360/z*(Kx-1)+sftx/(Dfx/2)*180/π
aftx=180/z*(Kx-1)+(π*Mnx/2+2*Mnx*Xfnx*tan(afnx))/cos(Bfx)/Dfx*180/π
aftx=180/z*(Kx-1)+(π/2+2*Xfnx*tan(afnx))*Mnx/cos(Bfx)/Dfx*180/π， Mnx/cos(Bfx)/Dfx=1/z
aftx=180/z*(Kx-1)+(π /2+2*Xfnx*tan(afnx))/z*180/π
z/180*aftx=(Kx-1)+(0.5+2*Xfnx*tan(afnx)/π)
z/180*aftx=(Kx-0.5)+ 2*Xfnx*tan(afnx)/π
跨齿数Kx= z/180*aftx -2*Xfnx*tan(afnx)/π+0.5，这里的aftx、Xfnx、afnx、Mnx、Bfx等均指任意接触圆Dfx上的参数，它满足以下式子：
Df=Mn/cos(Bf)*Z; D0=Df*cos(aft)
Df/tan(Bf)=Dfx/tan(Bfx)
Cos(aftx)=D0/Dfx; tan(afnx)= tan(aftx) * cos(Bfx)
Mn*cos(afn)=Mnx*cos(afnx)
Sfn/cos(Bf) /df+inv(aft)= Sfnx/cos(Bfx) /Dfx+inv(aftx)
Xfnx=(Sfnx-π*Mnx/2)/(2*Mnx*tan(afnx))
要求出Dfx，则需要采用迭代运算：当Kx取大时，端面压力角aftx也要加大;反之要减小。
公法线千分尺的测砧与齿廓的接触圆直径的计算公式
已知一边的接触圆直径Dfx1，求另一边的接触圆直径Dfx2(请参考图4)
图4 测公法线Wkt1和非等接触圆直径Dfx1
理论端面公法线
Wkt = Wkn / Cos(B0)
cosaftx1 = d0 / Dfx1
Dfx1上的压力角
aftx1 = Atn(Sqr(1 - cosaftx1 ^ 2) / cosaftx1)
Wkt1 = d0 / 2 * Tan(aftx1)
Wkt2 = Wkt - Wkt1
Dfx1上的压力角
aftx2 = Atn(Wkt2 * 2 / d0)
测砧接触圆直径
Dfx2 = d0 / Cos(aftx2)
如果知道齿轮鼓形量最大值的直径dgmax，可以直接取Dfx1≠dgmax或Dfx2≠dgmax即可避开该鼓形区域进行测量。当然在用小压力角滚刀进行粗加工时，齿根的过渡曲线会变长，滚齿渐开线起始圆的直径比磨后的要大。因此测量公法线长度时也要避开此过渡区域(见图5)。
图5 滚齿仿真图(左右两条绿色线分别为滚齿和磨后渐开线)
三、应用案例分析
问题描述
在滚削某新能源齿轮，具体参数为：Mn=2.316，Z=47，Bf1=28°，afn1=18°，Sfn1=4.155(热前留磨量0.25，W5=33.46)，Da=131.1，Di=117.4，齿宽20。当滚齿公法线尺寸W5=33.46时，发现齿根圆Di1=118.2>117.4。查滚刀设计与制造都正确，不知什么原因会导致滚齿时齿根圆直径变大?
滚齿仿真分析
经计算和滚齿仿真发现：滚齿后有效渐开线起始圆直径Φ123.85已经接近齿廓中部，过渡曲线加长了很多，按跨5齿测公法线Wk5=33.46时，计算测砧与齿廓的理论等接触圆Dftx=121.59<123.85。这说明实际测量公法线长度时，公法线卡尺的测砧接触到了齿廓下面的过渡曲线AB(而不是左边绿色的渐开线部分)。测量结果错误(说明齿厚实际偏大)，从而导致滚刀还没进到深度，就误以为齿厚已到尺寸，这样齿根圆直径也就会偏大。
改进办法
由于从Φ123.85到齿根圆Φ117.4之间的齿形，都是非渐开线，实际测量公法线时两边测砧接触部位都必须要高于A点。因此增加跨齿数kx=6，让测砧接触位置往外移，分别计算跨6齿和跨7齿时的等接触圆，结果如下：
图6 跨6齿测量
图7 跨7齿测量
根据软件计算采用跨7齿测量Wk7=47.30，公法线卡尺的测砧等接触圆Dftx7=127.20>123.85!但因为47.3*sin28°=22.2> Wb=20的齿宽而无法测量。
采用跨6齿测量：Kx=6，Wk6=40.38，公法线卡尺的测砧等接触圆Dftx6=124.19(其接触圆的变化范围123.85-124.53较小，需要细心检测)。这样齿轮公法线长度和齿根圆直径都能够同时保证。
四、结束语
由于滚齿时的有效起始圆直径比成品的SAP大。因此跨齿数选择不合适，将会导致公法线千分尺的测砧接触位置不对，从而让公法线尺寸出现错误。在确定跨齿数时要验算接触圆尺寸位置是否在留磨时的SAP点和EAP点之间，否则测出的公法线尺寸是不对的。
对于齿形有鼓形量的产品，可以通过改变跨齿数及左右两边接触点的位置(此时两边接触圆直径不相等)来让开高点。由于接触圆直径不能直接测量，因此需要有丰富经验的师傅来担当。当然也可以用合适的钢球来测M值，让接触点的位置更好地避开鼓形区域或非渐开线区域。