螺旋锥齿轮具有传动比平稳、承载能力强、传动噪音低以及寿命长等优点，而被广泛应用于航空、汽车、船舶等领域。但由于螺旋锥齿轮的齿面呈超越非线性方程、形态非常地复杂，导致螺旋锥齿轮的加工和测量难度很大。国外发达国家具有较高螺旋锥齿轮测量技术，因此研究螺旋锥齿轮的测量技术，对提高我国螺旋锥齿轮的加工和测量水平具有十分重要的意义。
高精度的测量方法直接影响着螺旋锥齿轮的加工精度。目前，三坐标测量机是测量螺旋锥齿轮齿面的有效设备，不仅可以降低测量成本，而且具有较高的测量精度。随着三坐标测量机相关技术的发展，其测量精度越来越高、应用范围越来越广，三坐标测量技术也被广泛的应用于齿轮的精度测量。但是，如何进一步提高测量精度和测量效率一直是研究学者关心的热点问题。邢彬建立了齿面数学模型，借助软件分析了齿面离散点和齿轮实体模型，得到了有效的实验结果。刘明亮利用三坐标测量机和三维扫描仪对螺旋锥齿轮的齿轮测量技术进行的研究，并得到了有效的结论。武冠宏等建立了齿面方程，通过实验对比表明了三坐标测量机的对螺旋锥齿轮的测量偏差明细小于其他测量设备。皮春琳利用扫描式三维测头对螺旋锥齿轮进行测量研究，并完成了齿形和齿距等测量实验。张婧等利提出了一种自适应分布法对螺旋锥齿轮齿面进行测量研究，并验证了方法的有效性。高延峰等利用遗传算法对具有复杂曲面工件的测量路径进行了优化研究，提高了测量效率，但忽略了算法容易陷入局部最优等缺陷。
本文针对三坐标测量机在测量螺旋锥齿轮齿面时路径优化问题，建立了齿轮测量路径模型，提出了利用粒子群算法(ParticleSwarmOptimization，PSO)对测量路径进行优化分析。为了提高 PSO 算法的效果，对权重系数和学习因子进行了改进。最后，仿真实验结果表明，本文改进的PSO算法具有较好的全局搜索能力、局部搜索能力和较高的运算效率，且能获得较好的测量路径。
一、齿面测量路径
众所周知，螺旋锥齿轮的齿面时一个非常复杂的空间曲面，利用三坐标测量机来测量螺旋锥齿轮的齿面形状，主要是预先设置好测量坐标，然后逐点进行测量。增加测量点数是提高测量精度的有效方法，但是随着测量点数的增加，测量路径的优化就显得尤为重要。当确定了测量点的坐标后，测量路径的优化直接影响着测量效率，特别是在测量点分布不均匀时，这种影响更加明显。此外，当测量路径规划错误时，势必将导致测头与工件发生碰撞。由此可见对测量路径的是必不可少的，其不仅可以减少测量过程的空运行，而且可在测头与工件不碰撞的前提下以最短的路径完成测量工作，从而提高测量效率。图1所示为本文研究的螺旋锥齿轮齿面测量路径示意图。
图1 齿面测量路径
如图1所示，利用三坐标测量机在测量过程中，大致可以分为到达定位点、接近测量点和退回到回退点三个过程。首先，测头以较快的速度到达指定的第一个定位点A，然后以测量点 C的法向方向运动至C点，如图AC路径所示;完成测量之后，退回至回退点B，如图CB路径所示。到此，完成一个测量点的测量工作。之后，测头运动至一个定位点D，测量点F，回退点E完成相应的测量工作。因此，可以推出测头完成一个测量点的测量工作时，移动的距离为：
式中，d1为定位点至目标测量点之间的距离；d2为测量点至回退点之间的距离；d3为回退点至下一个定位点之间的距离。
若在整个齿面测量工作中，测量点的总和为 N，则齿面的测量路径可以表示为：
通过上述分析可以发现，不论测量点的选取情况如何，d1和d2均为固定值，即齿面的测量路径只受d3的影响。因此齿面测量路径的优化目标函数可以进一步表示为：
式 中，(xi，yi，zi)和(xi+1，yi+1，zi+1)分别为第i和第i+1个测量点的坐标值。
二、PSO算法的改进
PSO算法：粒子群优化算法是由Eberhart博士和 Kennedy博士发明的一种进化算法，其源于对鸟群捕食行为的研究。在 PSO 算法中，将所要优化问题的解都认为是搜索空间的一只小鸟，并抽象为一个微小的粒子，延伸至N维空间。在N维空间中的每一个粒子描述为一个相对应的矢量，粒子在空间中的飞行速度也描述为一个相对应的矢量。PSO 算法本质上是一种迭代优化的算法，利用迭代来寻找最优值。
在 PSO 算法运算时，首先初始化一群随机粒子，然后所有的粒子会跟随当前最优粒子在 N 维空间中搜索，直至找到最优解。若在 N 维空间中第i个粒子的速度为Vi =(vi，1，vi，2，…，vi，N )，位置为 Xi =(xi，1，xi，2，…，xi，N )，则在迭代过程中，粒子会跟踪个体极值Pi =(pi，1，pi，2，…， Pi，N)和全局最优解 Pg 来更新自己。即，粒子将以式(4)更新自己的速度和位置：
式中：ω为惯性权重；c1，c2为正的学习因子；r1，r2为随机数，且r1，r2∈rand(1)。
PSO算法的改进：传统的 PSO 算法虽然具有较好的优化性能，但是其在迭代过程中容易陷入早熟和局部最优。因此为了提高 PSO 算法的性能，本文提出了以下方法对其进行改进：
(1)权重系数的改进
权重系数直接影响了粒子对当前速度的继承量、粒子探索能力和开发能力的均衡性。为了克服传统权重系数线性递减无法找到最优点而陷入局部最优的缺点，本文采用随机权重法。首先，若在算法初期粒子接近最好的点，随机权重法将产生较小的权重值 ，提高算法的收敛速度;若算法在初期无法找到最好的点，随机权重法可使得算法跳出局部最优。具体公式如下：
式中，N(0，1)为服从标准正态分布的随机数；rand (0，1)为0至1之间的随机数。
通过式(5)可以发现，将权重系数设定为服从正态随机分布的随机数，这样使得 PSO 算法在初期如果粒子接近最好的点，将具有较小的权重值，提高算法的收敛速度;如果在初期PSO 算法未能找到最好的点，则可使算法轻松的跳出局部最优。
(2)学习因子的改进
在PSO 算法中，除了权重系数之外，学习因子对 PSO 算法的性能同样也具有重要的影响。对于 PSO 算法，在算法初期较大的c1 和较小的c2，能使其具有更好的全局搜索能力，可较大范围的寻找最优解；在算法后期较大的 c2 和较小的c1，能使其具有更好的局部搜索能力。因此，为了提高综合 PSO 算法的全局搜索能力和局部搜索能力，本文采用非线性变化方法对学习因子进行改进，具体如式(6)所示：
式中，Tmax为最大迭代数，t为当前迭代数。
通过式(6)可以发现，随着迭代数t的增加，使得在算法初期具有较大的c1 和较小的c2，在算法后期具有较大的c2 和较小的c1。因此，综合了PSO算法的全局搜索能力和局部搜索能力，提高了算法的运行效率。
改进 PSO算法的流程：
Step1：设置 PSO 算法的相关参数(种群大小、最大迭代数，随机权重平局值的最大值和最小值，随机权重方差)，随机初始化种群中各粒子的位置和速度；
Step2：计算各个粒子的适应度值，保存各个粒子的当前位置和适应值，并比较所有的粒子的适应值，将最优的赋值于Pg；
Step3：利用式(4)更新粒子的速度和位置；
Step4：利用式(5)和式(6)更新权重和学习因子；
Step5：将各个粒子的适应值和最好的位置进行比较，如果粒子的适应值较好，则将其视为当前的最好位置，并且将当前的Pi 和Pg 进行更新；
Step6：判断是否满足算法停止条件。若满足，算法停止，输出最终结果；否则算法跳转至Step2。
三、齿面测量路径优化
利用三坐标测量机测得螺旋锥齿轮齿面测量点的分布情况，如图2所示，一共有70个点。为了验证本文提出算法的性能，分别利用遗传算法、传统PSO算法和本文改进的PSO算法对测量路径进行优化分析，对比三种算法的优化结果。由于算法的优化过程具有一定的随机性，为了使比较结果更有说服力，对三种算法分别独立运行30次，并取其均值进行比较，三种算法的运行结果如表1所示。
图2 测量点
表1 三种算法运行结果比较
分析表1对比结果可知，本文提出的改进PSO算法求得的最优路径优于其他两种算法，传统PSO次之，遗传算法的效果最差。此外，对比算法的运算时间可以发现，本文提出的改进PSO算法同样具有最高的运算效率。结果表明，本文提出的改进 PSO 算法由于其他两种算法。
图3 三种算法迭代对比
为了能更加直观的观察算法的运行过程，图3给出了三种算法某次运行时的情况对比。从图中可以看出传统PSO 算法很快就陷入了局部最优、遗传算法虽然在开始阶段可以跳出局部最优，但是其收敛能力比其他两种算法差，本文提出的改进PSO算法虽然收敛速度较慢，但具有较小的适应度值。进一步表明，本文提出的随机权重法和非线性变化学习因子，使算法具有较好的全局搜索能力和 局部搜索能力，能跳出局部最优化，寻找到真正的最优解，提高了算法的运行效率。
四、结论
提出的改进PSO算法获得的测量路径明显短于其他算法，且运行时间较短。因此，本文提出的方法可以有效降低螺旋锥齿轮齿面测量成本、提高测量效率，为螺旋锥齿轮齿面测量路径优化提供有效的参考借鉴。
参考文献略.