齿轮因其传动优势而被广泛应用在各类传动设备中，其动力学特性直接反应了设备运行品质。然而，由于齿轮内外部激励冲击等因素的存在，会对传动系统的动力学特性产生影响，加快齿轮磨损或其他故障的发生，引起剧烈的振动和噪声。因此，研究齿轮传动系统内部冲击对提升系统运行品质、降低振动噪声、延长设备使用寿命具有十分重要的工程价值。
齿轮表面形貌直接影响齿轮传动动力学特性。Majumdar 等研究表明基于分形几何理论的 M-B 模型可以较好的模拟齿面粗糙形貌。通过大量实验得出分形参数与粗糙度之间的关系式为 
这表明可以定量、准确的实现分形参数与表面粗糙度之间的相互转化。Yu 等通过分形几何理论建立粗糙齿面模型，并修正了粗糙表面上存在微凸体时齿轮副的齿隙值。Zhao 等考虑了分形参数对齿轮接触刚度的影响，随着粗糙度的增大，时变啮合刚度逐渐减小。Li 等将修正后的齿隙和啮合刚度应用到齿轮系统中，并分析了齿隙和刚度对系统动力学特性的影响。然而，包括上述研究在内，很少有基于各向异性三维粗糙齿面模型开展相关研究的。所以本研究首先基于分形几何理论建立了三维各向异性分形粗糙齿面模型，然后对齿隙和时变啮合刚度进行了修正研究，同时创新性的引入了基于三维粗糙齿面的非均匀磨损，基于此研究了分形参数对系统动力学特性的影响。本着降低振动噪声的原则，可以合理选择使系统处于周期运动的分形参数。因此，从分形参数的角度实现了对齿轮传动系统振动和噪声的控制。研究思路和结果可以为齿轮加工和齿轮设计提供一定的理论指导。
一、三维分形粗糙齿面建模
齿轮齿面机加工后微观凹凸不平，具有一定的表面粗糙度。同时实际加工齿面微观形貌呈现出特定的方向性，因此本研究将 x 方向和 y 方向的两个二维 M-B 分形函数叠加在一起构建 x 、y 两向异性的三维分形粗糙表面，建模公式为式(1)所示。
式中，Gx 表示 x 方向二维尺度系数，Dx 表示 x 方向二维分形维数，y 方向同理。Φ m,n 是随机相位，基于表面平整度和频率分布密度的考虑，取γ=1.5。分形理论模拟的粗糙表面具有连续性、不可分性、尺度不变性和自亲和性的特征，克服了表面粗糙度表征对样本大小的依赖，使得对粗糙表面的描述更稳定、更精确。
为了求解粗糙齿面对齿侧间隙和啮合刚度的影响，各向异性三维粗糙齿面建模过程如图 1 所示。首先根据表 1 齿轮参数建立光滑齿面模型如图 1(b)所示。本文将图 1(a)所示的粗糙表面经过旋转后叠加到光滑齿面上即可得到各向异性三维粗糙齿面，如图 1(c) 所示。其中图 1(d)和(e)是粗糙齿面的局部细节图。
图 1 各向异性三维粗糙齿面建模过程
表 1 齿轮参数
二、齿隙的计算
相比于理想光滑齿面，粗糙齿面啮合时由于微凸体的存在，齿隙值将发生改变。另外，粗糙齿面磨损率也与光滑齿面不同。因此，本研究设定初始齿隙值b0为50 μm 。微凸体平均高度值记为bi ，粗糙齿面磨损深度值为bw。综合修正齿隙为b(t) = b0 - bi - bw 。
分形参数对齿隙的影响：齿面粗糙体通过改变两个轮齿相应接触区域之间的距离来改变齿隙值，如图2所示。粗糙表面之间实际值取决于粗糙峰的平均高度。粗糙齿面导致的齿隙修正值应为初始齿隙与表面微凸体高度值之差。根据分形函数(式 1)可以计算在(x0 , y0 ) 处单个微凸体的高度。同时沿齿廓方向将弧长等分为n份。则第nj份区域内微凸体的算术平均值高度为：
同理，可以得到主动轮和从动轮上所有微凸体绝对值的算术平均值bi _ p 和bi _ g 。则 微凸体导致的齿隙修正值为bi = bi _ p + bi _ g 。图 3 为不同分形参数时凸体高度值对比图。从图中可以得出随着分形维数增大、特征尺度系数减小，凸体平均高度逐渐减小。
图 2 考虑三维粗糙齿面啮合时的齿侧间隙示意图
图 3 不同分形参数时齿面微凸体高度值
分形参数对磨损率的影响： 齿面粗糙度不同，其磨损速率必然不同。将齿面形貌特性融入到 Flodin 的齿面磨损研究中，求解不同分形参数时的齿面非均匀磨损速率。齿面磨损深度表达式为：
aH 代表啮合点的赫兹接触宽度，k 是磨损系数，v是啮合点处的滚动速度，P 是啮合点处的接触载荷，具体计算方法参考文献。ζ 是黏着磨损系数，ζ aHkP 是黏着磨损量。
图 4 为不同分形参数时齿面磨损深度，从图中可以得出，随着分形维数的减小、特征尺度系数(表面粗糙度)的增大磨损深度逐渐增大。综上所述，考虑分形粗糙齿面的综合齿隙如图 5 所示。
图 4 分形参数对齿面磨损深度的影响
图 5 粗糙齿面传动时的综合齿隙
三、基于三维分形齿面接触模型的 TVMS 计算
时变啮合刚度是齿轮传动系统的主要激励因素之一，影响着系统动力学特性的表现。势能法是求解时变啮合刚度使用较为广泛的方法。它根据材料力学和弹性力学将时变啮合刚度分解为轴向压缩刚度ka 、弯曲刚度kb 、剪切刚度 ks 、基体变形刚度kf 以及赫兹接触刚度kh进行求解。在考虑三维分形齿面后，微观上的齿面接触实际上是微凸体之间的挤压与滑动，导致齿面实际接触面积明显小于理论接触面积，所以传统的赫兹接触刚度不再适用。本文建立了三维各向异性分形齿面接触模型，用于求解分形齿面接触刚度。
在计算具有分形特征的接触刚度时，通常可以将一对齿轮之间的弹性接触问题转化为具有等效曲率半径和等效弹性模量的弹性圆柱与刚性平面的接触。如图 2(b)所示，其中 P 为刚体平面施加在椭圆微凸体上的法向接触载荷，δn 为椭圆微凸体的高度，ωn 为椭圆微凸体的实际变形量，取值在(0，δn ) 之间。由式(1)可得以椭圆区域的长轴l x 和短轴l y 为基底的微凸体的轮廓曲线 z(x, y)，即:
单个椭圆微凸体的接触面积a 为：
其中e 表示椭圆微凸体接触的偏心量。当微凸体变形达到临界变形δc 时，临界接触面积 ac 的表达式为：
微凸体的最大接触面积为：
齿轮副分形齿面接触面积分布函数
可表示为：
其中ζ 表示椭圆微凸体的接触系数，
当椭圆微凸体处于完全弹性变形时，法向接触刚度kh可表示为：
另外，上述公式中rx 、ry 、e 、δn 和ωn 等可在文献中查得。总时变啮合刚度可表示为：
考虑分形齿面的 TVMS 计算结果如图 6 所示。从图中可以看出随着D的增大或G 的减小，啮合刚度逐渐增大。这是由于D的增大或G的减小会造成分形齿面接触面积增大，总体变形量减小，最终导致刚度值增大。
图 6 分形参数对啮合刚度的影响
四、分形参数对系统特性的影响
齿轮传动系统动力学模型参考文献建立，不再详细介绍。通过上述研究可以得出分形参数对齿隙和啮合刚度值的变化具有显著影响，这势必会导致齿轮系统动态特性的改变。设定模型参数值为：b0 = 50 μm ，e0 = 25 μm ，μ1 = μ2 = 0.1 ，cpx = cgx = cpy = cgy = 3×103 Ns/m，kpx = kgx = kpy = kgy = 6×108 Ns/m 。将不同分形参数时的齿隙和啮合刚度值带入动力学模型中，采用 Runge‐Kutta 算法对动力学方程求解。
将转速作为变量参数，得到了不同转速下系统丰富的动力学特性，如图 7 所示。随着转速的增加系统经历了 1 周期、2 周期、4 周期和混沌运动等多种响应状态，另外混沌意味着齿轮传动系统稳定性差，不利于系统稳定运行。因此，可以通过选择避开图中混沌运动区域来增强系统稳定性，减少振动以达到降噪的作用。
图 7 不同转速时系统动态行为
分形维数对齿轮振动特性的影响：选取 3600r/min 和 6000r/min 两个一般转速工况，以分形维数 Dx 和 Dy 为变量参数、特征尺度系数Gx = Gy = 5×10-7 m 、其余参数不变时系统进行动态响应研究，结果如图 8 所示。
图 8 不同分形维数( Dx 和 Dy )时系统动态行为
从图 8 中可以看出，随着齿轮旋转速度的增加(由3000r/min 提升到 6000r/min)， 齿轮传动系统动力学响应发生明显变化，系统稳定性显著降低。这表明随着齿轮系统旋转速度的增加，系统振动明显加剧。仔细观察特定转速时的分岔图可以发现，在分形维数 Dx 和 Dy 均较小时，动态传动误差幅值较大，传动系统振动剧烈。随着 Dx 或 Dy 单因素的增加，DTE 幅值快速减小，在 Dx 和 Dy 都增大到 1.9 时，DTE 幅值最小，表明此刻系统传动最为平稳。
特征尺度系数对齿轮振动特性的影响： 以特征尺度系数Gx 和Gy 为变量参数、分形维数 Dx = Dy =1.4 、其余参数不变对系统进行动态响应研究，结果如图 9 所示。随着齿轮旋转速度的增加，系统稳定性明显降低，这与 4.1 中的结论一致，均属于工况对传动系统的固有影响，不可改变。观察特征尺度系数Gx 和Gy 对系统动力学响应似乎影响并不明显。仔细观察可以得出随着表面特征尺度系数的增大，系统稳定性逐渐降低，振动愈发剧烈。所以为了系统的稳定运行，可以在加工齿轮表面时适当的增大分形维数，减小特征尺度系数。而对于特殊用途(如需要振动的场景)的传动齿轮，在齿面加工时可以适当减小分形维数而增大特征尺度系数。
图 9 不同特征尺度系数(Gx 和Gy )时系统动态行为
五、结论
利用分形几何理论建立了各向异性三维粗糙齿面模型，并对齿轮啮合时的齿隙和时变刚度进行修正。研究了齿面形貌对系统动力学特性的影响。主要结论如下：
(1)通过改变分形参数可以得到特定的各向异性粗糙齿面模型，分形维数越小、特征尺度系数越大，表面越粗糙，粗糙凸体引起的齿隙修正值越大。
(2)随着表面粗糙度增大，时变啮合刚度值减小，齿面磨损速率增加，磨损深度在靠近节点的方向逐渐减小。
(3)在相同表面粗糙度时，随着齿轮转速的增大，系统稳定性降低，动态传动误差幅值增大。
(4)随着分形维数的增大和特征尺度系数的减小，系统具有更高的稳定性，可以有效降低齿轮传动系统的振动特性。
参考文献略.