斜齿轮在工作过程中，除齿轮本体在外载荷作用下发生弯曲、剪切、径向压缩等变形，影响齿轮的接触状态以外，其支撑轴由于承受来自齿轮的轴向力、径向力和切向力，发生弯曲及扭转变形，使齿轮副中心距发生改变，导致齿轮接触载荷分布及接触刚度变化，从而对传动系统的工作性能产生重要的影响。因此，综合考虑支承轴变形的影响，开展斜齿轮接触特性研究，对齿轮强度分析、寿命计算和齿轮系统动力学设计具有重要的工程意义。
国内外学者在齿轮接触分析方面已进行了广泛的研究。Conry等在考虑齿轮轴和轮齿弹性变形情况下，基于齿轮对啮合的接触条件，运用改进单纯形法对斜齿轮齿面载荷分布进行计算；Simon采用有限元方法计算直齿轮和斜齿轮接触变形，并基于大量的计算结果，采用回归分析与插值函数获得了综合考虑斜齿轮弯曲和剪切变形的计算公式，并基于该式进行了斜齿轮的载荷与应力计算。卜忠红等采用ANSYS软件计算齿面柔度系数，基于线性规划法求解斜齿轮的载荷分布，并分析了齿轮结构参数对啮合刚度的影响。白恩军采用有限元软件研究了齿轮轴变形下斜齿轮的接触特性，结果表明齿轮轴变形影响齿向载荷分布，降低了齿轮的啮合刚度。李杰等采用有限元软件建立变速器齿轮与齿轮轴有限元模型，分析变速器齿轮轴变形对齿面接触状态的影响。Li采用数学规划方法结合三维有限元仿真，在考虑齿轮装配误差、加工误差和齿轮修形条件下，对直齿轮接触进行研究，分析加工误差、装配误差和齿轮修形参数等对齿轮载荷分布、接触应力和弯曲应力的影响。
目前已发表文献大多研究齿轮接触载荷分布及齿轮结构参数、装配及加工误差等对其接触特性的影响，有关齿轮轴变形对齿轮接触尤其是斜齿轮的接触特性研究相对较少。本文以支承于轴上的一对斜齿轮副为研究对象，基于齿轮啮合理论及线性规划内点法，应用MATLAB软件编写斜齿轮齿面接触载荷分布计算程序，对齿轮啮合区接触线、齿向载荷分布进行计算，分析齿轮轴弯曲及扭转变形对斜齿轮接触特性的影响规律。
一、齿面接触线
齿面方程：以两齿轮中心连线为y轴，以主动齿轮轴线方向为z轴，按照右手定则建立如图1所示直角坐标系，其中，c为斜齿轮端面渐开线起点，端面渐开线上任意一点s的法线与基圆切于点a，取O1c与X轴的夹角为σ，代表齿轮的旋转位置，取角∠aO1c为u，代表齿轮的啮合位置。
根据渐开线的形成原理，有 
对渐开线上任意一点S，则有，
式中，(x，y)为S点的坐标。
将渐开线齿廓绕Z轴作螺旋运动，形成渐开螺旋面，如将点S绕N轴旋转至S1点，旋转角为θ，则螺旋面上点 S1的坐标为：
式中，p为导程。
齿面接触线：齿面接触线方程参考文献中建立的的斜齿轮齿面数学模型。
为了确定斜齿面上的接触线位置，采用切片法，将斜齿轮看作由许多薄直齿片体依次转过一个很小的转角组成。相邻直齿片体间对应一个旋转角Δθ， 取Δθ= Δσ，且θB =NbΔθ，其中，Nb为等分的直齿片体份数，θB为斜齿轮轮齿宽度B对应的旋转角度。对于端面上某一啮合点K，假设它的位置参数为(Xi，Yi， Zi，σi，ui)，绕着斜齿轮轴线方向作螺旋运动，转过jΔθ，得到对应的啮合点为K1，相应的位置参数为(Xk，Yk， Zk，σk，uk)，根据式(2)有：
从式(3)可知，由端面上的各个啮合点，利用jΔσ替代jΔθ，得到同一齿面接触线上任意啮合点的位置参数。利用这种方法可以获得一个齿从进入啮合到退出的任意旋转位置的接触线。
二、弹性变形
齿轮轴弯曲及扭转变形：以主动齿轮为例，基于材料力学理论推导齿轮轴的弯曲及扭转变形。分析时，将齿轮简化为直径为齿根圆直径的圆柱体，轴为简单铰支梁，如图2所示。若距离轮体左端X0处作用载荷Fn，则在x处引起的弯曲变形为：
式中，wb(X，X0)为由点X0处的载荷Fn在点X处引起的弯曲变形，abxx0为轮体弯曲变形影响系数。根据材料力学中轴的弯曲变形理论推导出计算abxx0的解析表达式为：
当x≤x0时，
式中，E为材料的弹性模量；I1、I2、I3分别为左、右轴段以及轮体的惯性矩；L为两支撑点间的距离；B为齿轮宽度；a、b为左、右两端支撑轴长度。
齿轮轴在扭转载荷作用下将发生一定的扭转变形，在点x处的扭转变形为：
式中，alxx0为在点x0处作用载荷时，点x处的扭转变形影响系数。
式中，G为剪切弹性模量，J1、J2、J3分别为左、右轴段以及轮体的极惯性矩；Fnl为齿轮轴扭转变形引起的啮合点角位移转变为接触线法向位移的转换因子。
式中，rk为啮合点半径，rb为基圆半径，αnk为啮合点法向压力角，βk为啮合点螺旋角。
轮齿弯曲及剪切变形：忽略轮齿径向压缩变形，轮齿的弯曲及剪切变形采用文献提出的公式计算：
式中，wp (x，x0)为轮齿的弯曲及剪切总变形；apxx0为轮齿变形影响系数。
式中，f1为载荷作用点的位置因子；f2为载荷作用点与变形影响点间径向相对位置因子；f3为载荷作用点与变形影响点间轴向相对位置因子；hf为齿顶高；hk为齿根高；rfil为齿根半径。
赫兹接触变形：啮合斜齿轮副的赫兹接触变形为:
式中，wb1，wb2为主、从动齿轮轴弯曲变形引起的啮合点位移;wl1，wl2为主、从动齿轮轴扭转变形引起的齿轮啮合点位移；wp1，wp2为啮合点处主、从动齿轮的轮齿弯曲剪切总变形；wh为啮合齿轮副的赫兹接触变形。
三、载荷分布计算
载荷计算时，用接触线段中点坐标表示该直齿片的啮合点。设由中间点坐标组成的向量为Ig，空载条件下，相互啮合的两个齿轮对应啮合点之间的距离为
施加到每对啮合点上的载荷为
由施加载荷引起的齿轮变形为
在载荷作用下，一对啮合点间的总位移为
n为齿片数。齿轮接触需满足以下三个约束条件：
1)兼容性条件。在任意啮合点，初始间隙和弹性变形之和大于或等于齿轮的刚体位移，即：
式中，gi ≧0，为在载荷作用下啮合点i的分离间隙；δi为齿轮的传动误差；aij为施加在j点的载荷对i点的弹性变形影响系数；wi为i点处的总变形；pj为作用在j点的载荷。
2)平衡性条件。作用于各个离散点的分载荷之和必须与作用于主动齿轮的载荷相等，即：
式中，T为作用于主动齿轮的转矩；rb1为主动齿轮的基圆半径。
3)接触条件。参与啮合的点的载荷大于零，没有参与啮合的点的载荷为零，即当gi=0时，Pi >0。当gi>0时， Pi=0。
将上述载荷分布求解问题转化为下列最优化问题，目标函数为最大刚体位移，采用内点法求解，数学模型为：
式中，A为变形影响系数矩阵，Ap = w；qT为单位向量。
四、斜齿轮副接触分析
刚性支承轴：按照第三节的斜齿轮载荷分布计算方法，应用MATLAB 软件编写计算程序，计算所用斜齿轮基本参数见表1。
接触线及载荷分布：图3所示为计算所得的斜齿轮齿面啮合区域接触线。从图中可以看岀，啮合线是一组倾斜的直线，齿轮从右下端进入啮合，接触线渐渐增长，直到轮齿全部参与啮合，接触线保持长度不变，之后接触线逐渐变短，直至轮齿全部退出啮合区。
图4所示为瞬时旋转角度为99°时的时变啮合线。由图可知，此时有三对齿轮同时参与啮合，且每个齿只有部分齿面参与啮合，其中中间齿上啮合线较长，两侧轮齿啮合线较短，总啮合线长度为30. 45 mm。
图5所示为旋转角度为99° ，转矩为100N·m时齿面接触线上的载荷分布情况。从图中可以看岀，各啮合齿载荷分布不均匀，第一对齿刚进入啮合状态，所受载荷较低;中间齿的载荷呈两端高中间低的分布，第三齿的载荷从端面向内呈单调上升的分布趋势。
齿轮啮合刚度：图6和7所示为主动齿和从动齿单齿啮合刚度曲线，从图中可以看出，单齿啮合刚度随齿轮转动角度的增加呈现先增大后减小的趋势;主动齿的单齿啮合刚度小于从动齿的啮合刚度，其中，主、从动齿单齿平均啮合刚度分别为1.01×108N/m和2. 09x 108N/m；主动齿啮入和啮出时的刚度变化斜率与从动齿呈现相反的趋势。
分别将主、从动齿的单齿啮合刚度进行叠加，得到主、从动齿综合啮合刚度变化曲线，如图8和9所示。从图中可以看出，主、从动齿的综合啮合刚度随齿轮转动角度呈周期性变化，曲线波谷处为双齿啮合区域，其余为三齿啮合区域;主、从动齿的平均综合啮合刚度分别为2.96×108N/m和6.02×108N/m。
柔性支承轴：图10和11所示为考虑支撑轴变形后的主动齿单齿啮合刚度以及主动齿综合啮合刚度，从图中可以看出，单齿啮合刚度变化趋势与刚性轴一致;考虑轴的变形后单齿啮合刚度明显下降，单齿平均啮合刚度及平均综合啮合刚度分别为 0.32×108N/m和0.92×108N/m。
图12所示为柔性支撑轴情况下齿向载荷分布，从图中可以看出，考虑支撑轴变形后，齿轮两端的载荷出现了明显的下降，沿啮合线的载荷分布较刚性轴均匀。这是因为齿轮啮合时受到的载荷会通过支撑轴变形的方式进行一定的缓解，从而降低齿轮两端所受到的载荷冲击。
支承轴结构参数对齿轮接触特性的影响：分析时假设主、从动齿轮左右两端支撑轴长度相同，变化范围为10~40mm，其中主动轴和从动轴轴长相等;主、从动齿轮轴径变化范围分别为20 ~ 50mm和45 ~ 75mm，计算间隔为5mm。
表2所列为主动轮转角为93.5°，齿轮轴直径及长度不同时，啮合齿面最大载荷及载荷分布标准差计算结果，从表中可以看岀，齿轮左右两端支撑长度越大，直径越小，齿轮啮合时最大载荷和载荷分布标准差越小，说明支撑长度增加，直径减小皆可使齿向载荷分布不均匀性降低。
图13所示为支承轴长度不变，支承轴直径改变时主动齿的单齿啮合刚度，从图中可以看出，在支承轴长度不变时，随支撑轴直径的增大，齿轮啮合刚度增大。同时单齿啮合刚度随齿轮转角的变化趋势与刚性轴时的啮合刚度变化趋势一致。
图14所示为轴径不变，支承轴长度改变时主动齿的单齿啮合刚度，从图中可以看出，轴径不变时，随支撑轴长度的增加，齿轮啮合刚度减小，单齿啮合刚度随齿轮转角的变化趋势不变。
为了分析支撑轴轴径及长度对啮合刚度的影响权重，在表1参数基础上，将支撑轴长度缩短5mm，支撑轴直径增大 5mm。应用所编MATLAB程序计算齿轮综合啮合刚度，结果如图15所示。从图中可以看出，直径增大5mm所增加的刚度比轴长缩短5mm所增加的刚度要大，说明增大齿轮轴直径比缩短轴的长度对齿轮啮合刚度的影响更大。
有限元仿真结果：图16所示为采用三维有限元方法计算得到的斜齿轮载荷分布图。图17和18所示分别为中间齿和第三齿上的载荷 分布理论计算结果与仿真结果对比。从图中可以看出，理论计算结果与有限元仿真结果接近，中间齿理论计算结果与仿真结果的最大差值为32MPa，出现在啮合线两端啮入和啮出侧。第三齿理论计算结果与仿真结果的最大差值为15 MPa，出现在啮合线中部。出现误差的原因是本文在计算轴、齿变形时均采用基于一定假设基础上推导出的理论计算公式，且忽略了轮齿的压缩变形及轴的剪切变形。
五、结论
1) 基于材料力学理论推导出了齿轮轴弯曲、扭转变形计算理论公式;基于切片法及线性规划内点法，对齿轮齿向载荷分布进行了计算，并通过与三维有限元仿真结果比较，验证了理论分析结果的正确性。
2) 与刚性支承轴相比，考虑轴变形后，齿轮啮合线上的载荷分布均匀性提高;从齿轮啮入到啮出的整个过程中, 单齿啮合刚度及综合啮合刚度明显下降。
3) 分析了齿轮轴长度、轴径对斜齿轮齿向载荷分布及啮合刚度的影响，结果表明，齿轮左右两端支撑轴的长度增加，轴径减小皆可使齿轮啮合刚度降低、齿向载荷分布均匀性提高;与支撑轴长度相比，支撑轴直径对齿轮载荷分布及啮合刚度的影响更大。
参考文献略.