考虑制造误差的齿轮三维模型设计方法

 　　制造误差是影响齿轮传动精度的重要因素，目前尚无一套成熟的方法设计出考虑制造误差的齿轮三维模型。为了完善齿轮三维误差信息，提出一种考虑制造误差的齿轮三维模型设计方法。首先，建立了双圆弧齿廓方程，并利用NURBS曲线插值对齿廓进行了拟合。然后，给出了径向跳动误差和齿距误差的简化表征方法。在此基础上，建立了考虑制造误差的三维模型设计方法。最后，给定了一系列误差范围，生成了对应的三维模型，对设计方法进行验证。实验结果表明，能够对制造误差进行有效的表征，能够应用于齿轮传动误差分析等领域。

　　齿轮传动作为应用最广泛的机械传动方法之一，在制造领域有着至关重要的作用。齿轮的制造精度对齿轮传动的寿命与性能有着直接的影响，随着对制造业提出的更高要求，齿轮传动也朝着高精度、长寿命、高效率、低噪声等方向发展。齿轮的制造误差影响着传动系统的传动精度和平稳性，并有可能导致振动冲击，影响传动件寿命。因此，齿轮制造误差的研究对齿轮传动有着重要意义。目前，对齿轮制造误差的表征可根据加工过程中啮合关系及其变化规律进行如图1所示的分类。

　　在齿轮制造误差研究方面，国内外学者做了广泛的研究。Li等建立了多体动力学模型，并通过对Solidworks 进行二次开发获得了三维模型，最后用Adams进行了动力学仿真分析;任菲等在研究人字齿传动特性时考虑了偏心误差和齿廓误差这两种制造误差;刘瑞弢等考虑了制造误差、传动误差、啮合刚度和啮合阻尼对圆柱斜齿轮传动精度的影响，并建立了其动力学模型;陈帅等考虑了偏心误差对变双曲圆弧齿线圆柱齿轮传动精度的影响，并通过Adams进行了仿真。

　　在齿轮制造误差的表征方面，国内外学者也做了系列相关的研究。刘继胜等对齿轮加工中常见的误差进行了分类，讨论了误差的主要来源，并给出了抵消误差的方法;林超等分析了椭圆锥齿轮在增材制造的加工方式下，产生的齿面与齿距误差的理论情况;戴剑青等关注了非圆齿轮制造误差中的齿廓误差，给出了新的齿廓算法与误差表征图;石照耀等利用Legendre正交多项式建立了齿面三维误差的表征方法，并探究了其与齿面各项特征误差之间的关系。

　　由前文可知，目前齿轮制造误差的研究方法多为建立动态响应模型为基础，辅以计算机仿真方法或数学模型方法进行验证，但都无法将制造误差引入到三维模型中进行计算机仿真;制造误差的表征方面，还没有形成成熟的考虑制造误差的三维模型设计方法。为此，本文将基于 Python对三维设计软件进行二次开发，建立了一种考虑制造误差——径向跳动误差和齿距误差的齿轮三维模型设计方法，并给出一系列误差范围，验证方法的可行性。

　　一、齿廓参数化设计

　　本文选择的齿廓为双圆弧齿廓，双圆弧齿廓是谐波减速器中柔轮最常用的齿廓之一，相较于传统渐开线齿廓，在谐波减速器特殊的传动原理中其具有“双共轭”的优良性质，即同一时刻啮合齿对间有两个点同时接触，传动更平稳。双圆弧齿廓又分为有公切线的双圆弧齿廓和无公切线的双圆弧齿廓，本文选择的是有公切线齿廓，因其应用更为广泛。

　　齿廓坐标系

　　有公切线的双圆弧齿廓主要由AB段圆弧、BC段公切线和CD段圆弧组成，以齿根圆与单齿对称轴的交点作为原点 O，其切线作为x轴，单齿齿廓的对称线作为y轴，建立直角坐标系。具体齿形如图2所示。

　　齿廓表达式

　　根据几何关系、约束条件可得双圆弧齿廓的圆弧圆心坐标：

　　其中，X_oa为上圆弧圆心O_a的横坐标；Y_oa为上圆弧圆心 O_a的纵坐标；x_a为上圆弧圆心O_a到y轴的距离；y_a为上圆弧圆心O_a到分度圆切线的距离；h_f为齿根高。

　　其中，X_of为下圆弧圆心O_f的横坐标；Y_oa为下圆弧圆心 O_f的纵坐标；x_f为下圆弧圆心O_f到齿槽对称轴的距离；y_f为下圆弧圆心O_f到分度圆切线的距离；S为齿厚。

　　根据上述圆心坐标与几何关系可得齿廓各段分界点坐标：

　　其中，X_a为A点横坐标；Y_a为A点纵坐标；R_a为上圆弧半径；h_a为齿顶高。

　　其中，X_b为B点横坐标；Y_b为B点纵坐标；α为BC段倾角，即压力角。

　　其中，X_c为C点横坐标；Y_c为C点纵坐标；h_l为B、C两点纵坐标之差。

　　其中，X_d为D点横坐标；Y_d为D点纵坐标。

　　以齿廓齿顶A点出为起点，以弧长s为参数分段表示圆弧AB、直线BC、圆弧CD段。

　　AB段圆弧表达式：

　　其中， s 为以A点为起点的弧长，取值范围为 s∈(0,l₁+l₂+l₃)；α₁是直线OA的斜率角；l₁是弧长AB段的长度l₁=R_a(α₁-α)。

　　BC段直线表达式：

　　CD段圆弧直线表达式：

　　其中，s取值范围为s∈(l₁+l_2，l₁+l₂+l₃)。

　　二、基于NURBS曲线的齿廓拟合方法

　　为了便于之后的模型设计与二次开发，本文采用 NURBS曲线方法对双圆弧齿廓进行了拟合，以避免双圆弧齿廓参量过多以及数据存储中截断误差导致的分界点处不连续的问题。

　　NURBS曲线

　　NURBS曲线，全称为非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B Spline，简称为NURBS)，是曲线、曲面设计领域的最重要的一种设计方法，是目前所有CAD软件绘制样条曲线、复杂曲面的最常用方法。

　　其定义为：

　　其中，ω_i(0≤i≤b)为权函数；d_i(0≤i≤n)为控制点坐标；N_i,3(u)是一系列由节点矢量决定的基函数，需要有以下递推关系式得到：

　　其中，u为节点变量。

　　三次NURBS曲线的矩阵表达形式

　　按照文献中的标记方法，

　　并规定由此可得到第i段曲线的矩阵表达形式为：

　　其中

　　其中m_ij(1≤i，j≤4)的取值方法可参考文献。

　　三次NURBS曲线插值方法

　　NURBS曲线是通过控制点对曲线进行控制，而曲线一般不会过控制点，所以使用NURBS曲线插值的过程，就是通过已知点反求控制点d_i(i=0,1,...,n+2)的过程。控制点可通过三对角线性方程组求解：

 

　　其中线性方程系数矩阵元素与表达式可参考文献。

　　三、制造误差的表征

　　本文重点关注齿轮制造误差为径向跳动误差和齿距误差两种。

　　径向跳动误差表征方法

　　齿轮的径向跳动误差根据齿轮精度标准ISO1328中的描述为：每个齿槽到齿轮测量基准轴线的最大径向距离与最小距离之差。本文将径向跳动误差简化为整体齿形相对于理论位置的变动量r。

　　齿距误差表征方法

　　齿距误差可以分为单个齿距误差f_pt、齿距累计误差 F_pk和齿距累计总偏差F_p。齿距误差根据齿轮精度标准 ISO1328中的描述如图4所示。

　　本文将齿距误差简化为整体齿形对称轴相对于测量初始的夹角与理论夹角的变动量p。

　　四、三维模型设计

　　基于Python的二次开发

　　本文通过Python对CAD软件Solidworks进行二次开发实现三维模型设计，两者的通信关系如图6所示。

　　三维模型设计方法

　　在使用本文所设计的方法时，首先需在MATLAB中计算出齿廓的离散点，再根据三次NRTBS曲线插值算法计算出控制点坐标，通过Python将上述信息传输到三维设计软件中，生成三维模型。模型设计流程如图7所示。

　　五、测试验证结果

　　本文通过给定不同的误差范围，设计出系列考虑制造误差的三维模型，来验证该方法的可行性。表1为试验齿轮的基本参数。

　　图8和图9展示了单独设置径向跳动误差和齿距误差的实验结果，每组实验分别设置了八组不同的误差范围，由图可知，随着误差范围的增大，轮齿的误差不断增大，可见该方法表征误差的有效性。

　　六、结语

　　1)本文在齿轮的三维模型设计中考虑了制造误差，将简化的径向跳动误差和齿距误差加入到了双圆弧齿廓齿轮的三维模型中，为齿轮传动精度研究提供了新思路；

　　2)基于NURBS曲线插值方法，对齿廓进行了拟合，避免了双圆弧齿廓多参数设计复杂，以及分界处因截断误差而不连续的问题；

　　3)利用Python脚本编程对三维仿真软件进行了二次开发，实现了考虑制造误差的三维模型参数化设计，并通过实验验证了该方法的可行性。

　　参考文献略