滚珠丝杠系统具有传动稳定准确 、可长时间使用 、润滑简单 、拆卸方便等特点，广泛应用于各种涉及准确传动机械中，尤其是机床的进给传动系统中。但是在一些高精度机床中滚珠丝杠系统带来的热变形也会对机床精度产生很大的影响，因此对滚珠丝杠系统热变形的研究已经成为减小误差的一个重要途径 。
国内外针对滚珠丝杠系统热变形已经做了大量研究，美国的 Yang S 等通过人工神经网络的方式建立了准确的机床热误差模型 。 日本的Hatamura incorporatingY等以加工中心为研究对象，利用智能制造研发出了机床热误差为主要误差时的误差补偿新方法。韩国的Kim S K 等以机床滚珠丝杠进给系统为研究对象，利用有限元仿真的方法确立了其工作过程中具体温度变化。德国的Shyh-chour hung 等通过有限元仿真的方法，模拟计算出了机床重要部件以及整机的温度场和变形场。陈曼龙等以中高速滚珠丝杠系统为研究对象，通过有限元仿真得出了相较于低速滚珠丝杠高速系统温度更高、热变形更大、对精度影响更大的结论。何震等在研究滚珠丝杠系统时意识到传统热特性有限元模型误差大等缺点，并以此为切入点建立了新的数学模型 。钟名东等利用实验和ANSYS有限元分析软件对滚珠丝杠系统的热稳定性进行了验证和分析。韩军等研究了滚珠丝杠系统螺母副和轴承生热对实心和空心丝杠系统热变形的影响。徐阳阳等提出了一种新型滚珠丝杠副热变形模型并进行了验证 。
五轴螺旋锥齿轮加工机床中有三副滚珠丝杠进给系统，分别承担对应刀具水平移动 、竖直移动以及工件的水平移动，其热 变形将严重影响机床的运动精度。滚珠丝杠系统热变形主要是由于丝杠螺母副以及两端轴承产生大量的热，并且热量不能及时消散，导致滚珠丝杠的温度分布不均匀引起的 。
本文研究的五轴螺旋锥齿轮加工机床在实际加工过程中加工精度远远没有达到设计精度，根据相关文献提出滚珠丝杠系统热变形是影响机床精度主要原因的假设，通过有限元分析软件 Workbench对其进行分析验证。
一、滚珠丝杠热分析理论基础
1.1 生热计算
1.1.1丝杠螺母副生热
丝杠螺母副与丝杠的移动摩擦产生的热量 Q1 (J) 由公式(1) 进行计算[11]：
Q1 =1.047×10-4 n1 M1 . (1)
其中：n1为丝杠体转速，r/min;M1为丝杠螺母副总摩擦力矩，N · mm 。
丝杠螺母副的总摩擦力矩M1 (N · mm) 可以由式 (2) 进行计算：
M1 =z1 (Me+Mg )cosλ. (2)
其中：z1为丝杠螺母副滚珠数;Me为摩擦阻力矩，N · mm;Mg为几何滑移摩擦力矩，N · mm;λ为丝杠 滚道螺旋升角，(°)。
1.1.2轴承生热
轴承生热 Q2 (J) 由公式(3) 进行计算[12]：
Q2 =1.047×10-4 M2 n2 . (3)
其中：M2为轴承的总摩擦力矩，N·mm;n2为轴承转速，r/min 。
轴承的总摩擦力矩 M2 (N ·mm)由式(4)进行计算：
M2 =M20 +M21 . (4)
其中：M20为与轴承相关的摩擦力矩，N · mm;M21为与载荷相关的摩擦力矩，N · mm 。
与轴承相关的摩擦力矩 M20 由式(5) 进行计算：
M20=10-7 f0 (νn2 ) 
Dm . (5)
其中：f0为与轴承有关的系数;Dm为轴承的平均直径，mm;ν为润滑剂的运动黏度，mm2/s 。
与载荷相关的摩擦力矩M21 由式(6) 进行计算：
M21 =f1 FβDm . (6)
其中：f1为与轴承相关的系数;Fβ 为轴承工作载荷，N。
1.1.3对流换热系数
丝杠体与空气的对流换热系数 h[ W/(mm2 · ℃)] 由下式进行计算[13]：
h= 
. (7)
其中：k为空气的导热系数，W/( mm · ℃);d为丝杠体直径，mm;Nu为怒射尔特数 。
Nu 由下式确定：
Nu=0.133Re2/3 Pr1/3 . (8)
其中：Re为丝杠体表面流动空气的雷诺数;Pr为空气的普朗特常数，20 ℃时空气的普朗特常数为 0.703 。 Re 由下式确定：
Re= 
(9)
其中：ω为丝杠体自转角速度，rad/min;νf 为空气的运动黏度，mm2/s;ds为丝杠体当量直径，mm 。
1.2 滚珠丝杠变形理论计算
滚珠丝杠进给系统的变形主要是由温升引起的， 变形量 Δl2可用公式(10) 进行计算：
其中：L为丝杠体长度，mm；d为丝杠体直径，mm; α为滚珠丝杠线性膨胀系数，1/℃;Δt(r) 为距离滚珠丝杠轴心r处的温度变化量，℃ 。
二、建立有限元模型
本文只研究控制刀具水平移动与竖直移动的滚珠丝杠系统热变形对机床热变形的影响 。影响滚珠丝杠系统热变形的因素可能有丝杠转速和丝杠系统水平竖直排列方式 。因此，本文对滚珠丝杠系统 、靠近刀具丝杠系统水平和竖直放置机床分别进行建模 。
利用SolidWorks进行三维建模时，为保证计算速率，忽略对计算结果影响很小的细小次要结构，以避免在一些次要细节处出现大量的节点和单元 。 图1为滚珠丝杠系统简化模型，图2为靠近刀具丝杠系统水平放置机床模型，图3为靠近刀具丝杠系统竖直放置机床模型 。
图 1 滚珠丝杠系统简化模型
三、有限元分析验证
现设计四组有限元热分析对假设进行验证 。
第一组丝杠转速为750r/min，靠近刀具丝杠系统竖直放置;
第二组丝杠转速为1500r/min，靠近刀具丝杠系统竖直放置;
第三组丝杠转速为750r/min，靠近刀具丝杠系统水平放置;
第四组丝杠转速为1500r/min，靠近刀具丝杠系统水平放置 。
滚珠丝杠系统移动速度为20m/min，滚珠丝杠系统具体参数如表1所示 。
表1 滚珠丝杠系统参数
将以上数据代入式(1)~式(9)求出滚珠丝杠系统具体的热边界条件 。
将SolidWorks建立的三维模型导入有限元分析软件Workbench中，进行网格划分，将计算出的热边界条件加载到有限元模型中，进行有限元热分析得到五轴螺旋锥齿轮加工机床稳态温度分布云图，再以稳态温度为载荷进行热-结构耦合得到其变形云图 。 机床稳态温度分布云图与变形云图如表2所示 。
第一组与第二组对比 、第三组与第四组对比，当转速从750r/min提升到1500r/min时，最高温度提高了大约30 ℃，最大变形量扩大一倍 。第一组与第三组对比 、第二组与第四组对比，当靠近刀具滚珠丝杠从水平放置变成竖直放置时，第一组与第三组对 比温度降低了2 ℃ 、最大变形量减小约0.12mm，第二组与第四组对比温度降低了 5 ℃ 、最大变形量大约减少0.18mm 。
表2 机床稳态温度分布云图与变形云图
四、结论
通过以上四组有限元分析，验证了本文提出的假设的正确性，当选用高转速滚珠丝杠系统时热变形极速增加，当靠近刀具处丝杠处于水平放置时热变形会有所减小 。本文研究的机床靠近刀具的丝杠处于竖直放置，建议将其变成水平放置，并将杠转速由中速变为低速 。本文研究为接下来设计类似机床时关于滚珠丝杠系统选型和丝杠水平排列方式选择提供了参考 。